Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa służy do opisu wielu zjawisk fizycznych takich jak np.: tor rzuconej piłki. Funkcję postaci f(x)=ax^2+bx+c (a <> 0) nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym ,a jej wykres parabolą. Wzór w tej postaci nazywa się ogólnym i nie jest jedyna postacią funkcji kwadratowej. Z każdej postaci funkcji można odczytać inne , przydatne informacje.Istnieją 3 postacie funkcji kwadratowej:
-ogólna
-kanoniczna
-iloczynowa

Z postaci ogólnej możemy odczytać kierunek ramion paraboli (jeżeli wartość "a" jest dodatnia to ramiona są skierowane w górę a jeśli ujemna - w dół) i miejsce przecięcia paraboli z osią Y. Za pomocą tej postaci można też narysować parabolę metodą tabelki i zobaczyć jak ona wygląda a zatem odczytać też dla jakich x parabola przyjmuje wartości (Y) dodatnie , a dla jakich ujemne , współrzędne wierzchołka , wartość minimalną i maksymalną , miejsca zerowe oraz w jakich przedziałach parabola jest rosnąca a w jakich malejąca.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać f(x)=a*(x-p)^2+q  i otrzymujemy ją przez przesunięcie funkcji y=ax^2 o wektor [p,q]. Z postaci tej możemy odczytać kierunek ramion oraz współrzędne wierzchołka paraboli [p,q]. Aby przejść z postaci kanonicznej do ogólnej wystarczy tylko wymnożyć nawias aby jednak przejść z postaci ogólnej na kanoniczną należy zastosować wzór skróconego mnożenia "od tyłu".
Przykład:
y=2x^2-12x+5  (postać ogólna)
y=2(x-6x)^2+5    (wyłączamy przed nawias 2)
y-=2(x-2*3*x)^2+5  (rozkładamy wartość 6x wg wzoru)
y=2(x-3+3)^2+5     (dodajemy i odejmujemy wartość "b" czyli 3)
y=2(x-3)^2+5-18
y=2(x-3)^2-13   (postać kanoniczna)

P i Q można też obliczyc ze wzoru w którym używamy delty. Delta to wartość wynikająca ze wzoru: delta=b^2-4*a*c
Wtedy p=-b/2a   a q=-delta/4a
Delta nazywana jest wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.


Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to y=(x-x1)*(x-x2). Ważne jest w tej postaci to że wartości które możemy odczytać ze wzoru to miejsca zerowe a są nimi x1 i x2. Aby otrzymać postać kanoniczną należy wykonać obliczenia , a na to są 2 sposoby:
Jeżeli posiadamy postać kanoniczną a chcemy mieć iloczynową to najlepiej obie strony równania spierwiastkować , otrzymamy wartości bezwzględne dzięki którym otrzymamy miejsca zerowe.
Przykład
0=2(x+3)^2+2   / :2
-1=(x+3)^2    /pierwiastek
-1=|x+3|      (szukamy takich x dla których odległość od -3 będzie wynosić 1)
x1= -4
x2=-2
Teraz pozostaje tylko te wartości wprowadzić do wzoru.
Jeżeli posiadamy postać ogólną to najlepiej obliczyć te miejsca zerowe deltą,
-Najpierw liczymy deltę
-Później jeżeli delta wyszła dodatnia to korzystamy ze wzorów x1=-b-pierwiastek z delty/2*a i x2=-b+pierwiastek z delty/2*a
-Jeżeli delta wynosi 0 to używamy wzoru x0=-b/2a
-Jeżeli delta jest wartością ujemną to funkcja nie posiada miejsc zerowych czyli w całości znajduje się nad lub pod wykresem w zależności od kierunku ramion.
Aby przejść z postaci iloczynowej na ogólna wystarczy wymnożyć nawias.